Poisson Process 포아송 프로세스

\[P(N(t) = k) = \frac{e^{-λt}(λt)^k}{k!}\]

 

학부 때 배웠던 포아송 분포를 기억하는가?

N(t): 시간 t까지 발생한 이벤트 수

 

“특정 시간 간격 동안 사건의 수를 설명하는 분포”

• 1분 동안 콜센터에 몇 통의 전화가 올까?
• 하루 동안 웹사이트에 몇 명이 접속할까?

포아송 프로세스로 확장돼서, “시간이 흐르면서 사건이 언제 일어났는지를 모델링”하게 된다.

 

포아송 프로세스의 세 가지 성질

 

1) 시작은 0 -> N(0) = 0

2) independent increments

3) stationary increments

 

이렇게 되면 자연스럽게  \(N(t) \sim \text{Poisson}(λt)\)

각 increment: N(t+s) - N(t)가포아송을따름 ->  N(t)도 포아송이고 increments도 포아송을따르게됨

 

 

포아송프로세스의 성질

1) 아주작은 시간간격 dt동안 한 개의 사건이일어날 확률: 

\[\mathbb{P}(N(t+dt) = j \mid N(t) = j-1) = \lambda dt + o(dt)\]

 

2) 사건이 안일어날확률

\[\mathbb{P}(N(t+dt) = j \mid N(t) = j) = 1-\lambda dt + o(dt)\]

 

아주 작은 dt동안에 두 개 이상의 사건이 일어날확률은 o(dt)로, 무시 가능할만큼작다.