Stochastic Process 마르코프성질 정상성 정상증가분 독립증가분

다음과 같이 다양한 성질로 분류 가능하다.

• Time 기준
  • 이산형 
  • 연속형
• State space 기준
  • discrete state (동전, 주사위결과, 개수) 
  •  continuous state(주가, 온도 , 혈압)
• 성질Property 기준
  • Markov Property : 기억 없음
    • markov chain, poisson process 
  • Stationary Process: 시간이 지나도 분포가 변하지 않음
  • Stationary Increments
    • Brownian Motion, Poisson
  • Independent Increments : 각 구간 변화가 서로 독립
  • Stationary + Independent Increment

오늘 살펴볼 것은 다음과같은 성질 기준의 분류들이다.

 

1. 마르코프 성질 (Markov Property)

 

“과거는 잊어라, 현재가 전부다” 과거의사건이현재의사건에영향을주지않는다

→ 미래는 오직 현재 상태만 보면 예측 가능.

→ 과거 경로가 어떻게 흘렀는지는 irrelevant.

2. Stationary Process (정상 과정)

시간과 무관하게항상 같은분포를따른다,

시계열분석에서 arima를 쓸때 stationarity test를 하는것과 관련잇음

“시간이 지나도 평균, 분산, 자기상관 구조가 안 변하는 시계열인가?”

→ 예측 가능한 패턴이 있고, 통계적 성질이 일정하면 정상성 O

 

 

3. Stationary Increments (정상 증가분)

시간 구간에따른 increment의 분포가 일정해야한다 -> 증가분의 평균과 분산이시간에따라일정

수학적으로 표현했을 때 잘 이해가 안가는데 그말인즉슨 "언제시작하든 상관없이 구간만 똑같으면 변화량의 통계적 분포가똑같다"

* stationary process 정상성 검증은 파랑색 플랏처럼육안으로가능하지만, 초록색 플랏만 봐서는 육안으로 stationary increment를 구별하기 힘들다. 즉 stationary increment는 각증가분을떼어다가 분포를확인해봐야만 알수있다.

위의플랏과같이 변화량 시계열을 똑 따다가 보면 비로소 파랑색 플랏과 유사하게 정상성이 확인이 가능한 것이다.

 

4. Independent Increments (독립 증가분)

시간 간격이 겹치지 않는 구간들에서의 변화량(증가분) 이 서로 독립이면 독립증가분

예전 구간에서 얼마나 바뀌었든 그건 미래 변화량에 영향을 주면 안됨

 

예시		Stationary Process	Stationary Increments	Independent Increments	Markov Property
i.i.d. sequence	예: 매일 독립적으로 주사위 굴림	✅ O	✅ O	✅ O	✅ O
Poisson Process {N(t)}	시간 t까지 사건 수	❌ (E[N(t)] = λt)	✅ O	✅ O	✅ O
Log(Share Price)	로그 주가: X_t = \log S_t	❌	✅ O (if constant return dist.)	경우에 따라 O	경우에 따라 O
Random Walk: Xₙ = ΣJᵢ	i.i.d. 합 → 누적합	❌	✅ O	✅ O	✅ O
Bag with balls	공 꺼냄 (조건부 확률 바뀜)	❌	✅ (Unconditional)	❌ (Conditional 깨짐)	❌
Base interest rate	중앙은행 금리	보통 ✅로 가정	❌	❌	경우에 따라 ✅
Text messages Mt	받은 문자 수	❌	❓ (만약 밤에도 일정하면 가능)	❓	❓
Goals in football match	Gₜ: 전반에 몇 골?	❓	❓	❌ (시간 의존성 큼)	가능
Football points Pₙ	경기 결과 누적 점수	❌	❌	경우에 따라 ✅	❌ (팀의 분위기 등 영향)

 

1. 자정부터 t시까지 받은 문자 수: 0에서 시작하는 increasing process이므로 정상성 불충족함, stationary increment는 조건부 가능할수있으나 24시간동안 시간간격마다 동일한 수의 문자를받아야하므로 24시간생활하지않는이상 불가능, 독립증가분 가능하나 문자에 답장할 경우 추가문자가 이어질수있으므로 어려울수있음. 독립증가분과정은 마르코프의 정의를 항상 따른다.
   
   
2. Bank of England(중앙은행) 금리
   Bank of England 금리는 일반적으로 정상성(stationarity)을 따르는 것으로 모델링된다. 금리는 시간이 지나며 위아래로 변동하지만, 일정 범위 내 중앙값 근처로 되돌아가는 경향(mean-reverting)을 보인다.
   
   정상 증가분(stationary increments)과 독립 증가분(independent increments)을 가정하기는 어렵다.왜냐하면 금리가 낮을 때는 올리려는 압박, 높을 때는 내리려는 압박이 존재하기 때문이다.이처럼 현재 수준에 따라 변화 경향이 달라지므로, 변화량이 시간에 따라 일정한 분포를 따르지 않으며, 서로 독립하지도 않다. 만약 금리가 정말로 stationary라면, 이미 평균으로 되돌아가는 성질이 있으므로, 변화량끼리의 독립성은 자연히 불가한 가정이다.
   
   Markov 성질은 경우에 따라 성립할 수 있다. 예를 들어, 다음 회의에서 금리를 올릴지 내릴지를 예측할 때, 현재 금리 수준만 보면 충분하다고 가정한다면, 과거의 변화 방향(최근에 계속 올랐는지, 내렸는지)은 무시해도 되므로, Markov Property를 만족한다고 볼 수 있다.  
   
   
   
3. 주식 가격
   독립증가분을 따른다고 볼 수 있고, 그러므로 마르코프성질을충족한다고 할 수 있다. 주식가격은 오르는 경향성이있으므로 정상성은 따르지 못한다. 또한 정상증가분도 불가능한데, 주가가 매우 낮을 때보다 주가가매우 높은수준일 때 더 큰 증가분을 가지게 될 것이기 때문이다.
   
4. 축구 경기 에서 t분간 넣은 골 수
   누적되는것이므로 정상성 없으며, 포아송 분포에 근사한다고 볼 수 있다. 정상 독립 증가분을 충족하며 그러므로 마르코프성질을 만족한다. 앞 구간에서 몇번 골넣었는지와관계없이 다음구간에서는 골을넣는다.
   : 지금 몇 골 넣었는지를 보면 다음 몇분간 몇 골 넣을지가 예측도 가능하다 - > 마르코프 
   변수가잇기에 완벽한데이터는 아니지만 현실에서 골예측할때 포아송근사가 가능하므로정상독립증가분이되는것으로 본다!
   
5. 축구팀이 리그에서 n번의 축구 경기동안 넣은 골 수
   또한 누적되는 것이므로 정상성이 없다. 정상 증가분을 충족하기 위해서는 모든 경기의 상대 팀이 동일한 수준과 능력이 전제되어야하기에 매우 어렵다. 독립증가분은 다음과 같은 가정하에 가능한데 : 이번 경기가 다음 경기에 영향을 주지 않아야한다 (컨디션, 멘탈 ㅈㅎ절 완벽) 또한 마르코프가 성립하려면 첼시같은 팀을 만나도 우리 팀의 최근결과와 아무 상관없이 이번 경기 결과만 영향을받는것이기에 어렵다.