역함수의 도함수, 역삼각함수의 미분 derivative of inverse function

 

• \( \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \)
• \( (f^-1)'(y) = \frac{1}{f'(x)}   \)

이러한사실을 이용하여 역함수의 도함수 문제를 풀 수 있다.

 

예제 1: \( f(x) = x^3+2x -1\) 에 대해 \( (f^{-1})'(2) \) 를 구하여라.

 

a. f의 역함수를 구한다 & \( f^{-1}(2) \) 값을 찾는다.

• \( c^3 +2c -1 = 2\) 이므로, c =1 이고 x = 1

b. \( (f^{-1})'(2) =  \) \(\frac{1}{f'(1)}\)이다.

• \(f'(x)=3x^2+2   \)  
• \( \therefore f'(1) = 5 \)
• \( \therefore (f^{-1})'(2) = 1/5 \)

 

* 사인함수의 역함수의 도함수(역사인함수의 도함수)

예제 2: \(y = sinx \) 의 역함수의 도함수를 구하여라. 이 때 \(-\frac{\pi}{2}\leq x_{0} \leq \frac{\pi}{2}\)

\( \frac{d}{dy}arcsin y = \frac{1}{\frac{d}{dx} sin x} = \frac{1}{cos x_{0}} = \frac{1}{\sqrt{1-sin^{x}x_{0}}} = \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \)

 

예제3

 

 

 

 

역삼각함수의 미분